Question

一個棱長為6cm的密封正方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動盒子，求小球在盒子不能到達的空間的體積．

Answer 1

分析：小球在盒子不能到達的空間要分以下幾種情況，在正方體頂點處的小正方體中，其體積等于小正方體體積減球的體積，在棱長處對應的正方體中，其體積等于這些小正方體體積的和減以球的直徑為底面直徑，以正方體和的高為高的圓柱，其他空間小球均能到達，綜合后即可得到結果．

解答：解：在正方體的8個頂點處的單位立方體空間內，
小球不能到達的空間為：8[13-

1

8

(

4π

3

×13)]=8-

4

3

π，
除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個1×1×4的正四棱柱空間內，
小球不能到達的空間共為[1×1×4-

1

4

(π×12)×4]=48-12π．
其他空間小球均能到達．
故小球不能到達的空間體積為：(8-

4

3

π)+48-12π=56-

40

3

π(cm3)．

點評：本題考查的知識點是球的體積，棱柱的體積，其中熟練掌握棱柱和不堪的幾何特征，建立良好的空間想象能力是解答本題的關鍵．