Question

已知A、B、C為三角形ABC的三內角，其對應邊分別為a，b，c，若有2acosC=2b+c成立．
（1）求A的大小；
（2）若a=2

3

，b+c=4，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知等式，再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式得到關系式，聯立后根據sinC不為0求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）利用余弦定理列出關系式，將a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，由sinA與bc的值，利用三角形的面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵2acosC=2b+c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC，①
三角形中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，②
聯立①②可化簡得：2cosAsinC+sinC=0，
在三角形中sinC≠0，得cosA=-

1

2

，
又0＜A＜π，
∴A=

2π

3

；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，得（2

3

）²=（b+c）²-2bc-2bccos

2π

3

，即12=16-2bc+bc，
解得：bc=4，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．