Question

已知f（x）=3^2x-（k+1）3^x-2，當x∈[1，+∞]時，f（x）恒為正值，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：先換元，令3^x=t，得到函數g（t）=t²-（k+1）t-2，t≥3，該函數為二次函數，所以討論對稱軸和3的關系，從而求出g（t）的最小值．根據已知條件，需滿足最小值大于0，所以讓最小值大于0求k的取值范圍即可．

解答： 解：設3^x=t，g（t）=t²-（k+1）t-2，t≥3；
該函數的對稱軸為x=

k+1

2

；
∴①若

k+1

2

＞3，g（t）的最小值為

-8-(k+1)2

4

＜0，不符合f（x）恒為正值；
②若

k+1

2

≤3，即k≤5，g（t）在[3，+∞）上單調遞增；
∴g（t）在[3，+∞）上的最小值為g（3）=4-3k；
由f（x）恒為正值知g（t）在[3，+∞）上恒為正值；
∴只要4-3k＞0，即k＜

4

3

；
∴k＜

4

3

；
綜上得k的取值范圍是（-∞，

4

3

）．
故答案為：（-∞，

4

3

）．

點評：考查指數函數的單調性，二次函數的單調性及二次函數的最小值，以及換元解決問題的方法．