Question

（本小題滿分14分）

在數列中，，其中．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求數列的前項和；

（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）當時，①式減去②式，數列的前項和

當時，．這時數列的前項和

（Ⅲ）存在，使得對任意均成立。

【解析】（Ⅰ）解法一：，

，

．

由此可猜想出數列的通項公式為．

以下用數學歸納法證明．

（1）當時，，等式成立．

（2）假設當時等式成立，即，

那么

．

這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何都成立．

解法二：由，，

可得，

所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為．

（Ⅱ）解：設，　　�、�

　　　　　　　�、�

當時，①式減去②式，

得，

．

這時數列的前項和．

當時，．這時數列的前項和．

（Ⅲ）證明：通過分析，推測數列的第一項最大，下面證明：

．　　　�、�

由知，要使③式成立，只要，

因為

．

所以③式成立．

因此，存在，使得對任意均成立．