Question

已知函數(shù)y=f（x）=

lnx

x

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=

1

e

處的切線方程；
（2）設實數(shù)a＞0，求函數(shù)F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義：導數(shù)在切點處的導數(shù)值是曲線的切線的斜率，求出切線方程．
（2）令導函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊的導函數(shù)符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷出函數(shù)的最大值在e處取得，最小值在端點處取得，通過對a的分類討論比較出兩個端點值的大小，求出最小值．

解答：解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞），∴f′（x）=

1-lnx

x2

∵f（

1

e

）=-e，又∵k=f′（

1

e

）=2e²，
∴函數(shù)y=f（x）的在x=處的切線方程為：
y+e=2e²（x-

1

e

），即y=2e²x-3e．
（2）令f′（x）=0得x=e．
∵當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上為增函數(shù)，
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，則在（e，+∞）上為減函數(shù)，
∵a＞0，
∴F（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）_min=min{F（a），F(xiàn)（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=

1

2

ln

a

2

，
∴當0＜a≤2時，F(xiàn)（a）-F（2a）≤0，F(xiàn)_min（x）=F（a）=lna．
當a＞2時，F(xiàn)（a）-F（2a）＞0，F(xiàn)（x）_min=F（2a）=

1

2

ln2a．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義：導數(shù)在切點處的導數(shù)值是曲線的切線的斜率，利用導數(shù)求函數(shù)的最值、分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．