Question

（2004•寧波模擬）（文） {a_n}是等差數列，公差d＞0，S_n是{a_n}的前n項和．已知a₁a₄=22．S₄=26．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令bn=

1

anan+1

，求數列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的前n項和公式與通項公式得到兩個關于a₁，a₄，的方程，求出a₁，a₄，同乘公差，然后求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）通過bn=

1

anan+1

，求出

1

anan+1

= (

1

an

-

1

an+1

)•

1

3

，利用求數列{b_n}前n項和T_n展開裂項，求出前n項和即可．

解答：解：（1）因為S₄=

4(a1+a2)

2

=2（a₁+a₄）=26，得a₁+a₄=13  ①
又a₁•a₄=22  ②
由①得a₄=13-a₁ 代入②得a₁（13-a₁）=22
解得a₁=11或a₁=2
a₁=11時，a₄=2，d＜0不合題意，舍去
所以a₁=2，a₄=2+3d=11
d=3
所以a_n=2+3（n-1）=3n-1
（2）bn=

1

anan+1

T_n=

1

a1a2

+ 

1

a2a3

 +

1

a3a4

+…+ 

1

anan+1

因為

1

anan+1

= (

1

an

- 

1

an+1

)(

1

an+1-an

)
因為a_n+1-a_n=d
所以

1

anan+1

= (

1

an

-

1

an+1

)•

1

3

T_n=

1

3

[

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+ …+

1

an

-

1

an+1

]
=

1

3

×[

1

a1

-

1

an+1

]
=

1

3

×[

1

2

-

1

3n+2

]
=

n

6n+4

所以T_n=

n

6n+4

．

點評：本題是中檔題，考查等差數列的通項公式的應用，第二小題主要的方法是裂項求和以及前n項和的求法，考查計算能力．