Question

已知正四棱錐（底面是正方形，頂點在底面的投影是底面的中心）P-ABCD如圖．
（1）設AB中點為M，PC中點為N，證明：MN∥平面PAD；
（2）若其正視圖是一個邊長分別為

3

、

3

、2的等腰三角形，求其表面積S、體積V．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取PD得中點為F，利用三角形的中位線的性質證明AM和 NF平行且相等，可得AMNF為平行四邊形，AF∥MN．再利用直線和平面平行的判定定理證明MN∥平面PAD．
（2）解設CD中點為E，則正四棱錐的正視圖為三角形PME．依題意，PM=

3

、PE=

3

、ME=2，由此求得四棱錐的表面積S、體積V．

解答： （1）證明：取PD得中點為F，由AB中點為M，PC中點為N，可得NF為△PCD的中位線，故有NF∥CD，NF=

1

2

CD．
再根據正四棱錐P-ABCD中，AM∥CD，AM=

1

2

CD，可得AM和 NF平行且相等，故AMNF為平行四邊形，∴AF∥MN．
由于AF?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD．

（2）解設CD中點為E，則正四棱錐的正視圖為三角形PME．
依題意，PM=

3

、PE=

3

、ME=2，
故幾何體的表面積S=4×(

1

2

×2×

3

)+2×2=4

3

+4，
體積V=

1

3

×4×

( 3 )2-12

=

4 2

3

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，幾何體的三視圖，求棱錐的表面積和體積，屬于基礎題．