Question

已知{a_n}是遞減等比數列，a₂=2，a₁+a₃=5，則a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范圍是（ ）
A．[12，16）
B．[8，16）
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據等比中項性質可知（a₂）²=a₁•a₃=4，進而根據a₁+a₃=5求得a₁和a₃，進而根據q²=求得q．根據a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1是數列{a_na_n+1}的前n項和，且數列{a_na_n+1}是以8為首項，為公比的等比數列．進而可得前n項和的表達式為S_n=（1-），可知S_n＜，由已知{a_n}是遞減等比數列可知{S_n}的最大項為S₁，進而得到答案．
解答：解：（a₂）²=a₁•a₃=4，a₁+a₃=5，
∴a₁和a₃是方程x²-5x+4=0的兩個根，解得x=1或4
∵{a_n}是遞減等比數列，∴a₁＞a₃，
∴a₁=4，a₃=1
∴q²==
∵{a_n}是遞減等比數列，∴q＞0
∴q=
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₁²q+a₁²q³+a₁²q⁵…+a₁²q^2n-1==（1-）＜
∵{a_n}是遞減等比數列，
∴{S_n}的最小項為S₁=8
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范圍是
故選C
點評：本題主要考查了等比數列的性質．數列內容高考必考內容之一，選擇題主要考查等差、等比數列的性質（尤其是中項公式）、定義，以及前n項和S_n的簡單應用．