Question

已知函數f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≤0在區間[1，e]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系，即可求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≤0在區間[1，e]上恒成立，則只需求出f（x）的最大值即可，求實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
∴f′(x)=

2x2-2(a+1)x+2a

x

=

2(x-1)(x-a)

x

(x＞0)，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
當0＜a＜1時，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）時f'（x）＞0，
在x∈（a，1）時f'（x）＜0，
∴f（x）的單調增區間是（0，a）和（1，+∞），單調減區間是（a，1）；
當a=1時，在x∈（0，+∞）時f'（x）≥0，
∴f（x）的單調增區間是（0，+∞）；
當a＞1時，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）時f'（x）＞0，
在x∈（1，a）時f'（x）＜0．
∴f（x）的單調增區間是（0，1）和（a，+∞），單調減區間是（1，a）．
（2）由（1）可知f（x）在區間[1，e]上只可能有極小值點，
∴f（x）在區間[1，e]上的最大值在區間的端點處取到，
即有f（1）=1-2（a+1）≤0且f（e）=e²-2（a+1）e+2a≤0，
解得a≥

e2-2e

2e-2

．
即實數a的取值范圍是a≥

e2-2e

2e-2

．

點評：本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉化為求函數的最值是解決本題的關鍵．