Question

已知函數f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期；        
（2）求函數f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）解析式去括號后利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根據x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可確定出f（x）的值域，進而求出f（x）的最小值與最大值．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
當2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

時，f（x）_min=-1
當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，f（x）_min=

2

，
則函數f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值為

2

，最小值為-1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．