Question

17．在直角坐標系內，已知A（3，2）是圓C上一點，折疊該圓兩次使點A分別與圓上不相同的兩點（異于點A）重合，兩次的折痕方程分別為x-y+1=0和x+y-7=0，若圓C上存在點P，使∠MPN=90°，其中M，N的坐標分別為（-m，0），（m，0），則實數m的取值集合為[3，7]．

Answer 1

分析 求出⊙C的方程，過P，M，N的圓的方程，兩圓外切時，m取得最大值，兩圓內切時，m取得最小值．

解答 解：由題意，∴A（3，2）是⊙C上一點，折疊該圓兩次使點A分別與圓上不相同的兩點（異于點A）重合，兩次的折痕方程分別為x-y+1=0和x+y-7=0，
∴圓上不相同的兩點為B（1，4），D（5，4），
∵A（3，2），BA⊥DA
∴BD的中點為圓心C（3，4），半徑為1，
∴⊙C的方程為（x-3）²+（y-4）²=4．
過P，M，N的圓的方程為x²+y²=m²，
∴兩圓外切時，m的最大值為$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$+2=7，兩圓內切時，m的最小值為$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$-2=3，
故答案為[3，7]．

點評 本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．