Question

設函數f（x）=|x-2|+|x-a|，x∈R
（1）當a=1時，求不等式f（x）≤2的解集．
（2）若f（x）≥a在R上恒成立，求實數a的最大值．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，f（x）=|x-2|+|x-1|，由此利用零點分段討論法能求出不等式f（x）≤2的解集．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在數軸上到2，a兩點距離，距離最小值就是|a-2|，若f（x）≥a對x∈R恒成立，則只要滿足|a-2|≥a，由此能求出實數a的最大值．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=|x-2|+|x-1|，
由x-2=0，得x=2；由x-1=0得x=1．
①當x≥2時，f（x）=x-2+x-1=2x-3≤2，解得2≤x≤

5

2

；
②當1≤x＜2時，f（x）=2-x+x-1=1≤2，成立，故1≤x＜2；
③當x＜1時，f（x）=2-x+1-x=3-2x≤2，解得

1

2

≤x＜1．
綜上所述不等式f（x）≤2的解集為{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在數軸上到2，a兩點距離，距離最小值就是|a-2|，
若f（x）≥a對x∈R恒成立，
則只要滿足|a-2|≥a，解得a≤1．
∴實數a的最大值是1．

點評：本題考查不等式的解集的求法，考查滿足條件的實數的最大值的求法，解題時要認真審題，注意零點分段討論法和絕對值的含義的合理運用．