Question

已知向量

a

=(sin2x，1)，向量

b

=(

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

，1)，函數f(x)=λ(

a

•

b

-1)
（1）x∈[-

3π

8

，

π

4

]，(λ≠0)，求函數f （x）的單調遞減區間；
（2）當λ=2時，寫出由函數y=sin2x的圖象變換到與y=f（x）的圖象重疊的變換過程．

Answer 1

分析：利用向量的數量積化以及兩角和與差的三角函數簡函數的表達式．
（1）通過x的范圍求出相位的范圍，利用λ＞0和λ＜0，分別求出函數的減區間．
（2）直接利用函數圖象的平移原則左加右減，推出變換后的函數的解析式即可．

解答：解：∵f(x)=λ(

a

•

b

-1)=λsin2x•

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

…（2分）
∴f(x)=

2

2

λsin(2x-

π

4

)+

λ

2

，…（5分）
（1）∵-

3π

8

≤x≤4∴-π≤2x-

π

4

≤

π

4

…（6分）
當λ＞0時，由-π≤2x-

π

4

≤-

π

2

得單調減區間為[-

3π

8

，-

π

8

]，
同理，當λ＜0時，函數的單調遞減區間為[-

π

8

，

π

4

]，周期為π…（8分）
注：單調區間寫成開區間，半開區間均給全分．
（2）當λ=2時，f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+1， x∈[-

3π

8

，

π

4

]
將y=sin2x的圖象右移

π

8

個單位可得y=sin(2x-

π

4

)的圖象，再將圖象上每個點的縱坐標擴大到原來的

2

倍，而橫坐標保持不變，可得f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)的圖象，再將所得圖象上移一個單位，可得f(2)=

2

sin(2x-

π

4

)+1的圖象．…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，單調減區間的求法，三角函數的圖象的平移變換，基本知識的考查．