Question

(本小題滿分l2分)

如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，ABC=60，EC面ABCD，FA面ABCD，G為BF的中點，若EG//面ABCD．

(1)求證：EG面ABF；

(2)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM∴EGAB, EGAF,∴EG面ABF.

（2）

【解析】

試題分析：(1)取AB的中點M，連結GM,MC，G為BF的中點,

所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,

∵CE//AF,

∴CE//GM,

∵面CEGM面ABCD=CM,

EG// 面ABCD,

∴EG//CM,

∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM

∴EGAB, EGAF,

∴EG面ABF.

（2）建立如圖所示的坐標系,設AB=2,

則B（）E(0,1,1) F（0，-1，2）

=(0，-2,1) , =(,-1，-1),   =(,1， 1),

設平面BEF的法向量=（）則

     令，則,

∴=（）                 

同理，可求平面DEF的法向量  =（-）

設所求二面角的平面角為，則

=.

考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，正確運用線面垂直的判定，求出平面的法向量是解題的關鍵．