Question

設S_n為等差數列{a_n}的前n項和，已知

1

3

S3與

1

4

S4的等比中項為

1

5

S5，已知

1

3

S3與

1

4

S4的等差中項為1．
（1）求等差數列{a_n}的通項；
（2）求數列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得：

1 3 S3• 1 4 S4=( 1 5 S5)2 1 3 S3+ 1 4 S4=2

，利用等差數列的求和公式，代入可求a₁，d，，進而可求通項a_n
（2）結合（1）中的條件可求數列{a_n}的和，進而根據n的取值范圍可求T_n

解答：解：（1）由已知得：

1 3 S3• 1 4 S4=( 1 5 S5)2 1 3 S3+ 1 4 S4=2

，…（2分）
設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則

1

n

Sn=a1+

n-1

2

d，
代入上述不等式組得：

(a1+d)•(a1+ 3 2 d)=(a1+2d)2 2a1+ 5 2 d=2

…（4分）
解得：

a1=4 d=- 12 5

或

a1=1 d=0

…（6分）
故an=-

12

5

n+

32

5

或a_n=1…（7分）
（2）若a_n=1，則T_n=n，…（8分）
若an=-

12

5

n+

32

5

，令a_n≥0，得：n≤2；…（10分）
故當n≤2時，Tn=-

6

5

n2+

26

5

n，…（12分）
當n＞2時，Tn=a1+a2-a3-a4-…-an=-Sn+2S2=

6

5

n2-

26

5

n+

28

5

…（15分）

點評：本題主要考查了等差數列的性質及求和公式的應用，其中（2）要注意分類討論思想的應用．