Question

已知函數y=

mx2+4 3 x+n

x2+1

的最大值為7，最小值為-1，求此函數式．

Answer 1

分析：先去分母把其整理成關于X的一元二次方程的形式，再根據方程必然有實數根得到△=48-4（y-m）（y-n）≥0；最后根據函數y=

mx2+4 3 x+n

x2+1

的最大值為7，最小值為-1得到-1和7是方程y²-（m+n）y+mn-12=0的兩個實數根；再結合根與系數的關系即可得到答案．

解答：解：y(x2+1)=mx2+4

3

x+n，(y-m)x2-4

3

x+y-n=0
顯然y=m可以成立，當y≠m時，方程(y-m)x2-4

3

x+y-n=0
必然有實數根，
∴△=48-4（y-m）（y-n）≥0，
即y²-（m+n）y+mn-12≤0，而-1≤y≤7
∴-1和7是方程y²-（m+n）y+mn-12=0的兩個實數根
則

m+n=6 mn-12=-7

，m=1，n=5
∴y=

x2+4 3 x+5

x2+1

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，考查分類討論思想，轉化思想，是中檔題．