Question

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）線段是橢圓過點(diǎn)的弦，且，求內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

（1）；（2），.

解析試題分析：本題主要考查直線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查思維能力，運(yùn)算能力.第一問，利用離心率和橢圓過定點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，分兩種情況：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，比較直觀，可求得，而當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)出直線的方程，讓它與橢圓聯(lián)立，消去參數(shù)，得到兩根之和、兩根之積，代入到中，通過配方法求面積的最大值，利用內(nèi)切圓半徑列出的面積，解出的范圍，得到，此時(shí)直線與軸垂直，所以.
試題解析：（1），又
    4分
（2）顯然直線不與軸重合
當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，||=3，，；      5分
當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線：代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，
整理，得
                    7分

令
所以
由上，得
所以當(dāng)直線與軸垂直時(shí)最大，且最大面積為3        10分
設(shè)內(nèi)切圓半徑，則
即，此時(shí)直線與軸垂直，內(nèi)切圓面積最大
所以，           12分
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.韋達(dá)定理；4.三角形面積公式；5.配方法求最值.