Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AA₁⊥BC，A₁A₂⊥AB，A₂A₃⊥BC，A₃A₄⊥AB，A₄A₅⊥BC，A₅A₆⊥AB，A₆A₇⊥BC，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇分別為垂足：
（1）△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇的周長和面積是否分別成等比數列？試給出證明．
（2）若AB=4，BC=5，分別求出（1）題中4個三角形的周長和△A₁A₂A₃的面積．
（3）如果把題設中的作法一直進行下去，并把所得類同于（1）題中的4個三角形的所有三角形的面積從大到小排成一個數列{S_n}，設AB=c，AC=b，求{S_n}的通項公式和△A₁₁A₁₂A₁₃的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明）△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇的周長和面積是否分別成等比數列，可以先證明它們依次兩兩為相似三角形，且相似比相等．（2）根據（1）的結論，結合勾股定理和射影定理依次求解；（3）根據（1）的結論，可求出數列的通項公式，再由通項公式，進行解答．
解答：解：（1）設AB=c，AC=b，BC=a
由射影定理易得：AA₁=
故：=
同理可證明：=
依此類推下去，我們可以得到：===…==
則△CAA₁∽△A₁A₂A₃，△A₁A₂A₃∽△A₃A₄A₅，△A₃A₄A₅∽△A₅A₆A₇，…且相似比均為
根據相似三角形的性質，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，我們可得：
①△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的周長成公比為的等比數列；
②△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的面積成公比為的等比數列．
（2）若AB=4，BC=5，則AC=3，則△ABC的周長為12，面積為6
此時，△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的周長成公比為的等比數列；
則：△CAA₁的周長為，△A₁A₂A₃的周長為，△A₃A₄A₅的周長為，△A₅A₆A₇的周長為
又∵△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的面積成公比為的等比數列
則：△CAA₁的面積為
（3）AB=c，AC=b，則S₁=S_△CAA1=bc，公比q=
則：Sn=bc（）^n-1
當n=12時，S₁₂=S_△A11A12A13=bc（）¹¹
點評：本題主要考查的知識點是相似的性質及數列的應用，根據相似三角形中，對應線長度之比等于相似比，對應面積之比等于相似比的平方，是解決本題的核心知識點．