Question

【題目】已知a＞0，b∈R，函數f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定義域為[0，1]．
（1）當a=1時，函數f（x）在定義域內有兩個不同的零點，求b的取值范圍；
（2）設f（x）的最大值和最小值分別為M和m，求證：M+m＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b在[0，1]內有兩個不同的零點，

即有 即為 ，

解得1≤b＜2或2＜b≤3

（2）證明：f（x）的對稱軸為x= ，

當 ＞1時，區間[0，1]為減區間，可得M=f（0）=b﹣a，

m=f（1）=3a﹣b，則M+m=2a＞0；

當 ＜0時，區間[0，1]為增區間，可得m=f（0）=b﹣a，

M=f（1）=3a﹣b，則M+m=2a＞0；

當0≤ ≤1時，區間[0， ]為減區間，[ ，1]為增區間，

可得m=f（ ）= ，

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，

M+m= ≥ =a＞0；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，

M+m= = ，

由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即為M+m＞0．

綜上可得M+m＞0恒成立

【解析】（1）由題意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜ ＜1，解不等式即可得到所求范圍；（2）求出對稱軸，討論對稱軸和區間[0，1]的關系，可得最值，即可證明M+m＞0．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)．