Question

（2012•福建）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且

1

a

+

1

2b

+

1

3c

 =m，求證：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件可得 f（x+2）=m-|x|，故有m-|x|≥0的解集為[-1，1]，即|x|≤m 的解集為[-1，1]，故m=1．
（Ⅱ）根據a+2b+3c=（a+2b+3c）（

1

a

+

1

2b

+

1

3c

）=1+

2b

a

+

3c

a

+

a

2b

+1+

3c

2b

+

a

3c

+

2b

3c

+1，利用基本不等式證明它大于或等于9．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=m-|x-2|，m∈R，故 f（x+2）=m-|x|，由題意可得m-|x|≥0的解集為[-1，1]，
即|x|≤m 的解集為[-1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且

1

a

+

1

2b

+

1

3c

 =m=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（

1

a

+

1

2b

+

1

3c

）
=1+

2b

a

+

3c

a

+

a

2b

+1+

3c

2b

+

a

3c

+

2b

3c

+1
=3+

2b

a

+

3c

a

+

a

2b

+

3c

2b

+

a

3c

+

2b

3c

≥3+6=9，當且僅當

2b

a

=

3c

a

=

a

2b

=

3c

2b

=

a

3c

=

2b

3c

=1時，等號成立．
所以a+2b+3c≥9

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數的值域，基本不等式在最值問題中的應用，屬于中檔題．