Question

如圖，已知向量，可構成空間向量的一組基底，若，，，在向量已有的運算法則基礎上，新定義一種運算．顯然a×b的結果仍為一向量，記作p．

(1)求證：向量p為平面OAB的法向量；

(2)求證：以OA，OB為邊的平行四邊形OADB面積等于|a×b|；

(3)將得到四邊形OADB按向量平移，得到一個平行六面體，試判斷平行六面體的體積V與|(a×b)·c|的大小．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵ ∴a⊥p，同理b⊥p，且a，b不共線 即p為平面OAB為法向量； (2)∵ 又 ∴； (3)設C到平面OAB的距離為h(即為平行六面體的高)．與平面OAB所成角為α，則V=Sh=|a×b||c|sinα，又(a×b)·c=|a×b||c|cos＜a×b，c＞=|a×b|·|c|(±sinα)． ∴|(a×b)·c|=|a×b||c|sinα，即V=|(a×b)·c|．