Question

5．焦點為F的拋物線C：y²=8x的準線與x軸交于點A，點M在拋物線C上，則當$\frac{{|{MA}|}}{{|{MF}|}}$取得最大值時，直線MA的方程為（　　）

• A． y=x+2或y=-x-2
• B． y=x+2
• C． y=2x+2或y=-2x+2
• D． y=-2x+2

Answer 1

分析 由題意可知則當$\frac{{|{MA}|}}{{|{MF}|}}$取得最大值，則∠MAF必須取得最大值，此時AM與拋物線相切，設直線l的方程，代入拋物線方程，由△=0，考慮求得MA的方程．

解答 解：過M做MP與準線垂足，垂足為P，則$\frac{{|{MA}|}}{{|{MF}|}}$=$\frac{丨MA丨}{丨MP丨}$=$\frac{1}{cos∠AMP}$=$\frac{1}{cos∠MAF}$，則當$\frac{{|{MA}|}}{{|{MF}|}}$取得最大值，
則∠MAF必須取得最大值，此時AM與拋物線相切，
設切線方程為y=k（x+2），則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，ky²-8y+16k=0，
△=64-64k²=0，k²=1，則k±1，
則直線方程y=x+2或y=-x-2，
故選：A．

點評 本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查數形結合思想，屬于中檔題．