Question

設函數f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題：
①若f（x）是奇函數，則c=0
②b=0時，方程f（x）=0有且只有一個實根
③f（x）的圖象關于（0，c）對稱
④若b≠0，方程f（x）=0必有三個實根
其中正確的命題是     （填序號）

Answer 1

【答案】分析：由奇函數定義結合比較系數法，可得f（x）是奇函數時c=0，故①正確；當b=0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調增函數，方程f（x）=0只有一個實根，故②正確；利用函數圖象關于點對稱的定義，可證得函數f（x）圖象關于點（0，c）對稱，故③正確；取b=1，c=0時，利用函數單調性可證出方程f（x）=0只有一個實根，故④錯．
解答：解：對于①，若f（x）是奇函數，則f（-x）=-x|x|-bx+c=-f（x）對任意x∈R恒成立，可得c=0，故①正確；
對于②，b=0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調增函數，且值域為R，所以方程f（x）=0有且只有一個實根，故②正確；
對于③，因為f（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故③正確；
對于④，當b=1，c=0時，f（x）=x|x|+x在R上為增函數，此時方程f（x）=0有且只有一個實根，故④錯．
故答案為：①②③
點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了函數的單調性、奇偶性、圖象的對稱性和函數零點與等知識，屬于基礎題．