Question

如圖，在三棱柱△ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁（要求說明理由）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（I）根據本題條件可得BC₁⊥AB，再解三角形的有關知識可得C₁B⊥BC，進而根據線面垂直的判定定理可得答案．
（II）根據題意設出點的坐標，再求出兩條直線所在的向量，然后利用向量的數量積等于0可得答案．
（III）分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為AB⊥側面BB₁C₁C，所以AB⊥BC₁，
在△BCC₁中有BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

所以由余弦定理可得：BC₁=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

．
故有 BC²+C₁B²=C₁C²，
所以C₁B⊥BC．
又因為BC∩AB=B，且AB，BC?平面ABC，
所以C₁B⊥平面ABC．
（II）以BA為z軸，BC為x軸，BC′為y軸，建立空間直角坐標系，所以B（0，0，0），C（1，0，0），C′(0，

3

，0)，B′(-1，

3

，0)
設E（x，y，0），A（0，0，m），所以

CC′

=(-1，

3

，0)，

CE

=(x-1，y，0)，
設

CE

=λ

CC′

則E(1-λ，

3

λ，0)（0＜λ＜1）
故

AE

=(1-λ，

3

λ，-m)，

B′E

=(2-λ，

3

(1-λ)，0)
故

AE

•

B′E

=4λ2-6λ+2=0?λ=1（舍）或λ=

1

2

故E為CC′中點．
（III）由題設得，A(0，0，

2

)，A′(-1，

3

，

2

)，E(

1

2

，

3

2

，0)，
所以

AE

=(

1

2

，

3

2

，-

2

)，

B′E

=(

3

2

，-

3

2

，0)
設平面AEB′的一個法向量為

n1

=(x，y，z)，平面A′B′E的一個法向量為

n2

，
所以

AE • n1 = 1 2 x+ 3 2 y- 2 z=0 B′E • n1 = 3 2 x- 3 2 y=0

令x=1，故

n1

=(1，

3

，

2

)，同理

n2

=(1，

3

，0)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1+3

6 ×2

=

6

3

故cosθ=

6

3

，sinθ=

3

3

故tanθ=

2

2

，即二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值為

2

2

．

點評：本題考查線面垂直、線線垂直、二面角的求法，是立體幾何�？嫉膯栴}，解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征進而建立空間直角坐標系，利用空間向量的有關運算解決空間角、空間距離、線面的位置關系等問題．