Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點D₁是棱B₁C₁的中點．
（I）求證：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）求三棱錐C₁-A₁D₁C與多面體A₁B₁D₁CAB的體積的比值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件推導出AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，由此能夠證明A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由AB=2，AC=2，CC₁=2，C1B1=2

2

，C1D1=

2

，A1D1=

2

，分別求出VABC-A1B1C1和三棱錐C₁-A₁D₁C的體積，由此能求出結果．

解答：解：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A，ACC₁A₁均為正方形，
∠BAC=90°，AB=2，點D₁是棱B₁C₁的中點，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵A₁D₁?平面A₁B₁C₁，D₁是B₁C₁的中點，
∴A₁D₁⊥B₁C₁，
∵CC₁∩B₁C₁，∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）∵AB=2，AC=2，CC₁=2，C1B1=2

2

，C1D1=

2

，A1D1=

2

，
∴VABC-A1B1C1=

1

2

×AB×AC×CC1
=

1

2

×2×2×2=4．
VC1-A1D1C=VA1-D1C1C
=

1

3

×

1

2

×CC1×C1D1×A1D1
=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

2

=

2

3

．
∴三棱錐C₁-A₁D₁C與多面體A₁B₁D₁CAB的體積的比值=

2

3

÷(4-

2

3

)=

1

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐與多面體的體積之比，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．