Question

△ABC中，A（0，1），AB邊上的高CD所在直線的方程為x+2y-4=0，AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x+y-3=0．
（1）求直線AB的方程；
（2）求直線BC的方程；
（3）求△BDE的面積．

Answer 1

分析：（1）由CD所在直線的方程求出直線AB的斜率，再由點斜式寫出AB的直線方程；
（2）先求出點B，點C的坐標，再寫出BC的直線方程；
（3）由點到直線的距離求出E到AB的距離d，以及B到CD的距離BD，計算S_△BDE即可．
或求出BE，D到BE的距離d，計算S_△BDE．

解答：解：（1）∵CD所在直線的方程為x+2y-4=0，
∴直線AB的斜率為2，
∴AB邊所在的直線方程為y-1=2（x-0），即2x-y+1=0；
（2）由

2x-y+1=0 2x+y-3=0

，得

x= 1 2 y=2

，
即直線AB與AC邊中線BE的交點為B（

1

2

，2）；
設C（m，n），
則由已知條件得

m+2n-4=0 2× m 2 + n+1 2 -3=0

，
解得

m=2 n=1

，∴C（2，1）；
∴所以BC邊所在的直線方程為

x- 1 2

2- 1 2

=

y-2

1-2

，即2x+3y-7=0；
（3）∵E是AC的中點，∴E（1，1），
∴E到AB的距離為：d=

2

5

；
又點B到CD的距離為：BD=

1

2 5

，
∴S_△BDE=

1

2

•d•BD=

1

10

．
另解：∵E是AC的中點，∴E（1，1），
∴BE=

5

2

，
由

2x-y+1=0 x+2y-4=0

，
得

x= 2 5 y= 9 5

，∴D（

2

5

，

9

5

），
∴D到BE的距離為：d=

2

5 5

，
∴S_△BDE=

1

2

•d•BE=

1

10

．

點評：本題考查了求直線的方程以及點到直線的距離公式的應用問題，是基礎題．