Question

已知f(x)=

1

2

x2-cosx，x∈[-1，1]，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）是（　　）

A．僅有最小值的奇函數(shù)

B．既有最大值，又有最小值的偶函數(shù)

C．僅有最大值的偶函數(shù)

D．既有最大值，又有最小值的奇函數(shù)

Answer 1

分析：求出f′（x），利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，通過單調(diào)性即可求出其最大最小值；再用定義可判斷其奇偶性，從而得出答案．

解答：解：f′（x）=x+sinx，令g（x）=x+sinx，則g′（x）=1+cosx．
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g′（x）＞0，所以f′（x）=g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
所以f′（-1）≤f′（x）≤f′（1），即-1-sin1≤f′（x）≤1+sin1．
又f′（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f′（x），所以f′（x）是奇函數(shù)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題，奇偶性的判斷，難度不大．掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是解決該題的關(guān)鍵．