Question

（2011•延安模擬）在銳角△ABC中，角B所對的邊長b=10，△ABC的面積為10，外接圓半徑R=13，則△ABC的周長為

10+10

3

．

Answer 1

分析：根據正弦定理，由b和外接圓半徑R的值即可求出sinB的值，然后由B為銳角，利用同角三角函數間的基本關系求出cosB的值，根據三角形的面積公式表示出△ABC的面積，讓面積等于10化簡后，得到a與c的關系式，記作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到關于a與c的關系式，記作②，①②聯立利用完全平方公式化簡后即可求出a+c的值，進而求出三角形BAC的周長．

解答：解：由正弦定理得：

b

sinB

=2R，又b=10，R=13，
解得sinB=

5

13

，由△ABC為銳角三角形，得到cosB=

12

13

，
∵△ABC的面積為10，∴

1

2

acsinB=10，解得ac=52①，
則cosB=

12

13

=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-102

2×52

，化簡得：a²+c²=196②，
聯立①②得：（a+c）²=a²+c²+2ac=104+196=300，
解得a+c=10

3

，
則△ABC的周長為10+10

3

．
故答案為10+10

3

．

點評：此題考查學生靈活應用正弦、余弦定理化簡求值，掌握完全平方公式的靈活運用，靈活運用三角形的面積公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道中檔題．