Question

若1，2，3，4，5的排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅具有性質：對于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不構成1，2，…，i的某個排列，則這種排列的個數是    ．

Answer 1

【答案】分析：將5個數的所有的排法利用排列求出；將不具有性質：對于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不構成1，2，…，i的某個排列的排列通過分類討論的方法求出；利用總的排法減去不具有性質的排法，求出值．
解答：解：1、總的排列數有A₅⁵種，用排除法
2、考慮對于1≤i≤4，a₁，a₂，…a_i為1，2，…i的某個排列的情況：
①當 i=4 時
即 a₁ a₂ a₃ a₄ 為1，2，3，4的某個排列，a₅=5，共有A₄⁴種可能
②當 i=3 時
即 a₁ a₂ a₃為1，2，3的某個排列，此處要考慮重復問題．即a₅ 必須不為5，否則會和 i=4  時重復．
故a₄=5，a₅=4，a₁ a₂ a₃任意排列，有 A₃³種可能
③當 i=2 時，a₅ 不為5，a₃不為3（否則和i=3重復），有
a₃=5時，a₁，a₂ 為1，2 的任意排列，a₄，a₅為3，4的任意排列，故有A₂²×A₂²=4種排列
a₄=5，a₅=3，a₃=4，此時有A₂²=2種
故 i=2時共有6種情況
④當 i=1 時，a₁=1，此時要滿足以下條件：
1、a₂ 不為 2
2、a₂=3 時，a₃ 不能為2（與i=3重復）
3、a₅ 必須不為5，否則將和i=4重復
這樣排列出來情況如下：
a₂=5，A₃³種
a₃=5，a₂ 不為2，有4種情況
a₄=5，a₅必須為2或3之間的一個，共2A₂²種
因而i=1時共有 14種情況
到此，結果就出來了：A₅⁵-A₄⁴-A₃³-6-14=70
故答案為：70
點評：本題考查利用排列求完成事件的方法數、考查間接的方法求完成事件的方法數、考查分類討論的數學思想方法．