Question

16、若1，2，3，4，5的排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅具有性質(zhì)：對于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不構(gòu)成1，2，…，i的某個排列，則這種排列的個數(shù)是

70

．

Answer 1

分析：將5個數(shù)的所有的排法利用排列求出；將不具有性質(zhì)：對于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不構(gòu)成1，2，…，i的某個排列的排列通過分類討論的方法求出；利用總的排法減去不具有性質(zhì)的排法，求出值．

解答：解：1、總的排列數(shù)有A₅⁵種，用排除法
2、考慮對于1≤i≤4，a1，a2，…ai為1，2，…i的某個排列的情況：
①當(dāng) i=4 時
即 a1 a2 a3 a4 為1，2，3，4的某個排列，a5=5，共有A₄⁴種可能
②當(dāng) i=3 時
即 a1 a2 a3為1，2，3的某個排列，此處要考慮重復(fù)問題．即a5 必須不為5，否則會和 i=4  時重復(fù)．故a4=5，a5=4，a1 a2 a3任意排列，有 A₃³種可能
③當(dāng) i=2 時，a5 不為5，a3不為3（否則和i=3重復(fù)），有
a3=5時，a1，a2 為1，2 的任意排列，a4，a5為3，4的任意排列，故有A₂²×A₂²=4種排列
a4=5，a5=3，a3=4，此時有A₂²=2種
故 i=2時共有6種情況
④當(dāng) i=1 時，a1=1，此時要滿足以下條件：
1、a2 不為 2
2、a2=3 時，a3 不能為2（與i=3重復(fù)）
3、a5 必須不為5，否則將和i=4重復(fù)
這樣排列出來情況如下：
a2=5，A₃³種
a3=5，a2 不為2，有4種情況
a4=5，a5必須為2或3之間的一個，共2A₂²種
因而i=1時共有 14種情況
到此，結(jié)果就出來了：A₅⁵-A₄⁴-A₃³-6-14=70
故答案為：70

點評：本題考查利用排列求完成事件的方法數(shù)、考查間接的方法求完成事件的方法數(shù)、考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．