Question

（2011•洛陽一模）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

）+2cos²（

π

4

-x）．
（1）求f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；
（2）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若f（

C

2

）=

3

+1，c=

6

，cosB=

3

5

，求b．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩角和的正弦公式和輔助角公式，化簡得f（x）=

3

sin（2x+

π

6

）+1．再由三角函數(shù)的周期公式和對(duì)稱軸方程的公式，即可求出f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；
（2）由（1）的解析式解方程f（

C

2

）=

3

+1，得C=

π

3

．用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出sinB=

4

5

，再利用正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

的式子，代入數(shù)據(jù)即可求出邊b的值．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x+

π

3

）+2cos²（

π

4

-x）
=sin（2x+

π

3

）+[1+cos（

π

2

-2x）]=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+1+sin2x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x+1=

3

sin（2x+

π

6

）+1
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），得x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z）
∴f（x）的對(duì)稱軸方程為x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z）；
（2）由（1）得f（

C

2

）=

3

sin（C+

π

6

）+1=

3

+1
∴sin（C+

π

6

）=1，結(jié)合C∈（0，π）得C=

π

3

∵cosB=

3

5

，可得sinB=

1-cos2B

=

4

5

∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得
b=

csinB

sinC

=

6 • 4 5

3 2

=

8 2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)的周期與圖象的對(duì)稱軸方程，并依此解三角形ABC．著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和正余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．