Question

設0＜a，b，c＜1，求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同時大于

Answer 1

【答案】分析：對于不可能結論的命題，常用反證法，即先假設三者都大于，相乘后得到的結論與另一個結論矛盾，從而原結論成立．
解答：證：假設原命題不成立；
即（1-a）b＞，（1-b）c＞，（1-c）a＞，
則三式相乘：（1-a）b•（1-b）c•（1-c）a＞①
又∵0＜a，b，c＜1∴²=
同理：（1-b）b≤，（1-c）c≤．
以上三式相乘：（1-a）a•（1-b）b•（1-c）c≤與①矛盾．
∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同時大于．
點評：有些不等式無法利用用題設的已知條件直接證明，我們可以間接的方法--反證法去證明，即通過否定原結論---導出矛盾---從而達到肯定原結論的目的．