Question

設0＜a，b，c＜1，求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同時大于

1

4

Answer 1

分析：對于不可能結論的命題，常用反證法，即先假設三者都大于

1

4

，相乘后得到的結論與另一個結論矛盾，從而原結論成立．

解答：證：假設原命題不成立；
即（1-a）b＞

1

4

，（1-b）c＞

1

4

，（1-c）a＞

1

4

，
則三式相乘：（1-a）b•（1-b）c•（1-c）a＞

1

64

①
又∵0＜a，b，c＜1∴0＜(1-a)a≤(

1-a+a

2

)²=

1

4

同理：（1-b）b≤

1

4

，（1-c）c≤

1

4

．
以上三式相乘：（1-a）a•（1-b）b•（1-c）c≤

1

64

與①矛盾．
∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同時大于

1

4

．

點評：有些不等式無法利用用題設的已知條件直接證明，我們可以間接的方法--反證法去證明，即通過否定原結論---導出矛盾---從而達到肯定原結論的目的．