Question

曲線C上任一點到點F₁（-4，0），F₂（4，0）的距離之和為12．曲線C的左頂點為A，點P在曲線C上，且PA⊥PF₂．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求點P的坐標；
（Ⅲ）在y軸上求一點M，使M到曲線C上點的距離最大值為3

7

．

Answer 1

（1）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點的橢圓，且橢圓的長半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸 b=

62-42

=

20

，
所以所求的橢圓方程為

x2

36

+

y2

20

=1；
（2）由已知A（-6，0），F₂（4，0），設點P的坐標為（x，y）
則

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)
由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0.

則 2x²+9x-18=0，解之得x=

3

2

，或x=-6，
由于A，P兩點不重合，所以只能取 x=

3

2

，于是y=

5

2

3

，
所以點P的坐標為 (

3

2

，

5 3

2

)；
（3）設圓M的圓心為（0，n），半徑為3

7

，其方程為x²+（y-n）²=63，當此圓與橢圓相切時，使M到曲線C上點的距離最大值為3

7

．
由

x 2+(y-n) 2=63 x 2 36 + y 2 20 =1

消去x得：

63-(y-n) 2

36

+

y2

20

=1
則56y²+40ny+20n²-93=0．
△=0?n=6或8．
所求的M的坐標為（0，6）或（0，8）．