Question

曲線C上任一點到點E（-4，0），F（4，0）的距離的和為12，C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A、B兩點，點P在C上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，b=，由此可知所求的橢圓方程．
（II）由已知A（-6，0），F（4，0），設點P的坐標為（x，y），則 =（x+6，y），=（x-4，y）由已知結合向量的數量積為0，由此可推導出點P的坐標．
解答：解：（I）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點的橢圓，且橢圓的長半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸b==，
所以所求的橢圓方程為 ；
（II）設點P的坐標為（x，y）
則 =（x+6，y），=（x-4，y），由已知得 
則 2x²+9x-18=0，解之得x=-6或
當x=-6時，y=0，與y＞0矛盾，舍去；
當時，，取（舍負）
∴．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．