Question

如圖，AB為拋物線y=x²上的動弦，且|AB|=a（a為常數且a≥1），求弦AB的中點M與x軸的最短距離．

Answer 1

【答案】分析：設A、M、B三點的縱坐標分別為y₁、y₂、y₃，如圖，A、M、B三點在拋物線準線上的射影分別為A′、M′、B′．
F為拋物線的焦點．連接AA′，MM′，BB′，AF，BF．由拋物線的定義可知：|AF|=|AA′|=，．又M是線段AB的中點，利用梯形的中位線定理可得，解出即可．
解答：解：設A、M、B三點的縱坐標分別為y₁、y₂、y₃，如圖，
A、M、B三點在拋物線準線上的射影分別為A′、M′、B′．
F為拋物線的焦點．連接AA′，MM′，BB′，AF，BF．
由拋物線的定義可知：|AF|=|AA′|=，．
∴，．
又M是線段AB的中點，∴=．
當且僅當AB過焦點F時，等號成立．
即當定長為a的弦AB過焦點F時，弦AB的中點M與x軸的距離最小，最小值為．
點評：熟練掌握拋物線的定義、梯形的中位線定理及其三角形的三邊的大小關系和三點共線是解題的關鍵．