Question

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐的底面為正方形，側棱底面，且，分別是線段的中點．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

（1）、（2）見解析；（3）

（1）因為分別是線段的中點，所以，由線面平行的判定定理得//平面；（2）由已知易證平面，所以，又，
分別是線段的中點，得，根據線面垂直的判定定理得平面；（3）由二面角的定義知就是所求二面角的平面角，等于.另解：因為四棱錐的底面為正方形，側棱底面，可建立空間直角坐標系，寫出需要的各點坐標.（1）只需證出與共線；（2）只需證與平面內的任意兩個不共線向量垂直；（3）需求出平面的法向量和平面的法向量，把二面角轉化為兩個法向量的夾角，注意角的范圍.
建立如圖所示的空間直角坐標系，

,
，，，．…………1分
（Ⅰ）證明：
∵，，
∴,
∵平面，且平面，
∴//平面．………………………………4分
（Ⅱ）證明：
，，，
  
，
又，
∴平面． ………………………………………………8分
（Ⅲ）設平面的法向量為,
因為，，
則取 
又因為平面的法向量為
所以 

所以二面角的大小為．…………………………………12分