Question

如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，正四面體ABCD的棱長為4，C在平面α內，B是直線l上的動點，則當O到AD的距離為最大時，正四面體在平面α上的射影面積為（ ）

A．4+2
B．2
C．4
D．4

Answer 1

【答案】分析：確定直線BC與動點O的空間關系，得到最大距離為AD到球心的距離+半徑，再考慮取得最大距離時四面體的投影情況，即可求得結論．
解答：解：由題意，直線BC與動點O的空間關系：點O是以BC為直徑的球面上的點，所以O到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點到AD的距離，最大距離為AD到球心的距離（即BC與AD的公垂線）+半徑=2+2．
再考慮取得最大距離時四面體的投影情況，此時我們注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD為底，O到AD 的距離投影，即（2+2）cos45°=2+為高的等腰三角形，其面積=×4×（2+）=4+2．
故選A．
點評：本題考查點、線、面間的距離計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．