Question

已知動點P的軌跡為曲線C，且動點P到兩個定點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離|

PF1

|，|

PF2

|的等差中項為

2

．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過圓x²+y²+4y=0的圓心Q與曲線C交于M，N兩點，且

ON

•

OM

=0(O為坐標原點），求直線l的方程；
（3）設點A(1，

1

2

)，點P為曲線C上任意一點，求|

PA

|+

2

|

PF2

|的最小值，并求取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

（1）據已知|

PF1

|+|

PF2

|=2

2

，
所求曲線C是橢圓，長軸2a=2

2

，a=

2

，c=1，
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

ON

•

OM

=0?x1x2+y1y2=0，
設l：y=kx-2，
y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4，
（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0（*）．
聯立

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-2）²=2，
x₁，x₂為上述方程的兩根，
∴x1x2=

6

1+2k2

，x1+x2=

8k

1+2k2

代入（*）得k2=5?k=±

5

，
所求直線l為：

5

x-y-2=0或

5

x+y+2=0
（3）橢圓的右準線為x=2，設點P到右準線的距離為d，
則

| PF2 |

d

=

2

2

?d=

2

|

PF2

|，|

PA

|+

2

|

PF2

|=|

PA

|+d，
此時|

PA

|+d的最小值為點A到右準線x=2的距離，(|

PA

|+d)min=1，
此時點P的坐標為(

6

2

，

1

2

)．