Question

【題目】設是虛數，是實數，且.

（1）求的值以及的實部的取值范圍；

（2）若，求證為純虛數；

（3）在（2）的條件下，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）證明見解析；（3）1.

【解析】

（1）設出復數，寫出的表示式，進行復數的運算，把整理成最簡形式，再根據所給的范圍，得到的虛部為0，實部屬于這個范圍，得到的實部的范圍；

（2）根據設出的，整理的代數形式，進行復數的除法的運算，整理成最簡形式，根據上一問做出的復數的模長為1，得到是一個純虛數；

（3），再利用基本不等式即可求得結果

解：（1）由是虛數，設，則

，

因為為實數，所以且，所以

所以，

此時，

因為，所以，得

（2）因為，且，

所以，

因為，，所以為純虛數

（3），

由，得，

故當且僅當，即時，有最小值1