Question

已知f′（x）是函數f（x）=lnx+

x

2n

（x＞0，n∈N^*）的導函數，數列{a_n}滿足1，a_n+1=

1

f′(an)

（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

(2n-1)(2an-1)

an

，S_n為數列{b_n}的前n項和，求

lim

n→∞

（S_n+b_n）•

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導數，然后代入a_n+1=

1

f′(an)

，整理得到，

1

an+1

-

1

an

=

1

2n

，然后求出

1

an

-

1

a1

，即可求出通項公式．
（2）首先求出數列{bn}通項公式，然后表示是出s_n和

1

2

s_n，再做差求得s_n進而求出極限．

解答：解（1）∵f（x）=lnx+

x

2n

，∴f′（x）=

1

x

+

1

2n

，
結合a_n+1=

1

f′(an)

，可得

1

an

+

1

2n

=

1

an+1

，∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2n

，（3分）
因此

1

an

-

1

a1

=（

1

an

-

1

an-1

）+（

1

an-1

-

1

an-2

）++（

1

a3

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a1

）
=

1

2n-1

+

1

2n-2

++

1

22

+

1

2

=1-(

1

2

)n-1，
所以

1

an

=2-(

1

2

)n-1，即a_n=

2n-1

2n-1

，n∈N^*．（6分）
（2）b_n=（2n-1）•（2-

1

an

）=（2n-1）•(

1

2

)n-1，
S_n=1×1+3×

1

2

+5×(

1

2

)2++（2n-1）•(

1

2

)n-1，

1

2

S_n=1×

1

2

+3×(

1

2

)2++（2n-3）•(

1

2

)n-1+（2n-1）•(

1

2

)n，
∴

1

2

S_n=1+2[

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-（2n-1）•(

1

2

)n，（9分）
S_n=2+4•

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（2n-1）(

1

2

)n-1=6-(

1

2

)n-3-（2n-1）•(

1

2

)n-1=6-

2n+3

2n-1

，
∴

lim

n→∞

（s_n+b_n）=

lim

n→∞

（6-

4

2n-1

）=6．（12分）

點評：本題考查了數列的求和、數列的極限等知識，對于等差數列和等比數列乘積形式的數列，一般采取錯位相減的方法，屬于中檔題．