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已知f′(x)是函數f(x)=lnx+
x
2n
(x>0,n∈N*)的導函數,數列{an}滿足1,an+1=
1
f′(an)

(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若bn=
(2n-1)(2an-1)
an
,Sn為數列{bn}的前n項和,求
lim
n→∞
(Sn+bn)•
分析:(1)先求出函數的導數,然后代入an+1=
1
f′(an)
,整理得到,
1
an+1
-
1
an
=
1
2n
,然后求出
1
an
-
1
a1
,即可求出通項公式.
(2)首先求出數列{bn}通項公式,然后表示是出sn
1
2
sn,再做差求得sn進而求出極限.
解答:解(1)∵f(x)=lnx+
x
2n
,∴f′(x)=
1
x
+
1
2n

結合an+1=
1
f′(an)
,可得
1
an
+
1
2n
=
1
an+1
,∴
1
an+1
-
1
an
=
1
2n
,(3分)
因此
1
an
-
1
a1
=(
1
an
-
1
an-1
)+(
1
an-1
-
1
an-2
)++(
1
a3
-
1
a2
)+(
1
a2
-
1
a1

=
1
2n-1
+
1
2n-2
++
1
22
+
1
2
=1-(
1
2
)
n-1

所以
1
an
=2-(
1
2
)
n-1
,即an=
2n-1
2n-1
,n∈N*.(6分)
(2)bn=(2n-1)•(2-
1
an
)=(2n-1)•(
1
2
)
n-1

Sn=1×1+3×
1
2
+5×(
1
2
)
2
++(2n-1)•(
1
2
)
n-1

1
2
Sn=1×
1
2
+3×(
1
2
)
2
++(2n-3)•(
1
2
)
n-1
+(2n-1)•(
1
2
)
n

1
2
Sn=1+2[
1
2
+(
1
2
)
2
++(
1
2
)
n-1
-(2n-1)•(
1
2
)
n
,(9分)
Sn=2+4•
1
2
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-(2n-1)(
1
2
)
n-1
=6-(
1
2
)
n-3
-(2n-1)•(
1
2
)
n-1
=6-
2n+3
2n-1

lim
n→∞
(sn+bn)=
lim
n→∞
(6-
4
2n-1
)=6.(12分)
點評:本題考查了數列的求和、數列的極限等知識,對于等差數列和等比數列乘積形式的數列,一般采取錯位相減的方法,屬于中檔題.
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13
x3-mx2+(m2-1)x+n
的導函數,若函數y=f[f′(x)]在區間[m,m+1]上單調遞減,則實數m的范圍是
-1≤m≤0
-1≤m≤0

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13
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(2)若B⊆CRA,求實數m的取值范圍.

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-1
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