Question

設{a_n}是公差大于零的等差數列，已知a₁=2，a₃=a₂²-10．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設{b_n}是以函數y=4sin²πx的最小正周期為首項，以3為公比的等比數列，求數列{a_n-b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）等差數列中，由a₁=2，a3=a22-10，利用等差數列的通項公式列出方程組，求出公差，由此能求出{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由y=4sin²πx=4×

1-cos2πx

2

=-2cos2πx+2，其最小正周期為

2π

2π

=1，故首項為1，由公比q=3，知bn=3n-1，由此能求出數列{a_n-b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，
則

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

，
解得d=2或d=-4（舍），
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵y=4sin²πx=4×

1-cos2πx

2

=-2cos2πx+2，
其最小正周期為

2π

2π

=1，
故首項為1，
∵公比q=3，∴bn=3n-1，
∴a_n-b_n=2n-3^n-1，
∴Sn=(2-30)+(4-31)+…+(2n-3n-1)
=

(2+2n)n

2

-

1-3n

1-3

=n²+n+

1

2

-

1

2

•3ⁿ．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．