Question

設{a_n}是公差大于0的等差數列，b_n=(

1

2

)an，已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁b₂b₃=

1

8

，
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求等差數列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析：（1）要證明等比數列，可根據等比數列的定義，驗證從第二項起，每一項與前一項之比等于常數即可；
（2）根據數列{b_n}是等比數列，可先求數列{b_n}的通項，進而根據b_n=(

1

2

)an，可求數列{a_n}的通項a_n．

解答：（1）證明：設{a_n}的公差為d.

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d為常數，又b_n＞0．
即{b_n}為以(

1

2

)a1為首項，公比為(

1

2

)d的等比數列．-------------------------------------（6分）
（2）由b2=

1

2

得，

b1+b3= 17 8 b1b3= 1 4

⇒

b1= 1 8 b3=2

or

b3= 1 8 b1=2

，由{b_n}公比為q=(

1

2

)d∈(0，1)
所以b₁＞b₃，所以

b3= 1 8 b1=2

-----------------------------------------------------（12分）
所以bn=(

1

2

)2n-3，即a_n=2n-3，n∈N^*--------------------------------------（14分）

點評：本題的考點是等差數列與等比數列的綜合，主要考查等差數列與等比數列的通項及性質，關鍵是正確運用等比數列的定義，利用等比數列的通項公式．