Question

在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（1）若△ABC的面積等于

3

，試判斷△ABC的形狀并說明理由
（2）若sin C+sin（B-A）=2sin 2A，求a，b．

Answer 1

分析：（1）由c與cosC的值，利用余弦定理列出關系式，再由三角形的面積公式，以及已知的面積與sinC的值，求出ab=4，兩關系式聯立組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可判斷出三角形為等腰三角形；
（2）由sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，右邊利用二倍角的正弦函數公式化簡，整理后分cosA=0和cosA不為0兩種情況考慮，分別求出a與b的值即可．

解答：解：（1）∵c=2，cosC=

1

2

，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：a²+b²-ab=4①，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，∴ab=4②，
聯立①②解得：a=b=2，
則△ABC為等腰三角形；
（2）由題意得：sin（A+B）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0，即A=

π

2

時，B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

；
當cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，
聯立方程組得：

a2+b2-ab=4 b=2a

，解得：

a= 2 3 3 b= 4 3 3

．

點評：此題屬于解三角形題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，和差化積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．