Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF：FC=3：1．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）在滿足（2）的情況下，求二面角G-AB-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要證明PA⊥BC，我們根據已知中PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，易得∠PAC=∠PAB=90°，即PA⊥底面ABC，然后根據線面垂直的定義即可得到結論．
（2）由已知易得ED∥AB，若平面ABG∥平面DEF，僅需AG∥EF（或BG∥DF）即可，由平行線分線段成比例定理，我們易求出滿足條件的G點；
（3）要求二面角G-AB-C的平面角的正切值，關鍵是要找出求二面角G-AB-C的平面角，然后構造三角形，解三角形即可得到結論．

解答：解：（1）在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴PA²+AC²=PC²，∴PA⊥AC；
又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得PA⊥AB
∵AC∩AB=A，∴PA⊥平面ABC
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC．

（2）如圖所示取PC的中點G，
連接AG，BG，∵PF：FC=3：1，∴F為GC的中點
又D、E分別為BC、AC的中點，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，
∴面ABG∥面DEF．
即PC上的中點G為所求的點．

（3）由（2）知G這PC的中點，連接GE，
∴GE⊥平面ABC，過E作EH⊥AB于H，連接GH，則GH⊥AB，
∴∠EHG為二面角G-AB-C的平面角．
∵S△ABE=

1

2

S△ABC=

5 39

8

又S△ABE=

1

2

AB•EH
∴EH=

2S△ABE

AB

=

5 39 4

4

=

5 39

16

又GE=

1

2

PA=

3

2

∴tan∠EHG=

EG

EH

=

3

2

×

16

5 39

=

8 39

65

∴二面角G-AB-C的平面角的正切值為

8 39

65

．

點評：線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．