Question

已知三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（I）求函數y=f（x）的表達式；
（II）求函數y=f（x）的單調區間和極值；
（Ⅲ）若函數g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在區間[m-3，n]上的值域為[-4，16]，試求m、n應滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意先求f（x）的導函數，利用導數的幾何含義和切點的實質及g（x）為奇函數建立a，b，c的方程求解即可；
（Ⅱ）有（1）可知函數f（x）的解析式，先對函數f（x）求導，再利用極值和單調性的概念加以求解即可．
（Ⅲ）根據（1）函數的單調性，由于x∈[m-3，n]恒成立求出函數的最大值，列出不等式，求出mn的范圍即可．
解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，由題意得，1，-1是3x²+2ax+b=0的兩個根，
解得，a=0，b=-3．（2分）再由f（-2）=-4可得c=-2．∴f（x）=x³-3x-2．（4分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），當x＜-1時，f'（x）＞0；當-1＜x＜1時，f'（x）＜0；落當x＞-1時，f'（x）＞0．（6分）∴函數f（x）在區間（-∞，-1]上是增函數；在區間[-1，1]上是減函數；在區間[1，+∞）上是增函數．（7分）
函數f（x）的極大值是f（-1）=0，極小值是f（1）=-4．（9分）
（Ⅲ）函數g（x）的圖象是由f（x）的圖象向右平移m個單位，向上平移4m個單位得到，
所以，函數f（x）在區間[-3，n-m]上的值域為[-4-4m，16-4m]（m＞0）．（10分）
f（-3）=-20，∴-4-4m=-20，即m=4．
于是，函數f（x）在區間[-3，n-4]上的值域為[-20，0]，（12分）
令f（x）=0得x=-1或x=2．
由f（x）的單調性知，-1≤n-4≤2，即3≤n≤6．
綜上所述，m應滿足的條件是：m=4，且3≤n≤6（14分）
點評：（1）此問重點考查了導函數，還考查了方程的數學思想；
（2）此問考查了函數的極值的定義和求極值的方法．
（3）考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，注意理解函數恒成立時所取到的條件．