Question

已知

m

=（asinx，cosx），

n

=（sinx，bcosx），其中a，b，x∈R，若f（x）=

m

•

n

滿足f（

π

6

）=2，且f（x+

π

3

）=f（

π

3

-x）．
（1）求a，b的值；
（2）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間[0，

π

2

]上總有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用向量的數量積求出函數的關系式，a和b的關系式，在利用函數的對稱性求出a和b的關系式，然后建立方程組求出結果．
（2）利用（1）的結論，進一步利用函數的值域求函數中參數的范圍．

解答： 解（1）f(x)=

m

•

n

=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x，
由f(

π

6

)=2
解得：a+

3

b=8
又由于：f(x+

π

3

)=f(x-

π

3

)
所以：f(0)=f(

2π

3

)
解得：b=

3

a
則有a=2，b=2

3

（2）由（1）得f(x)=2sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2sin(2x-

π

6

)∈[-1，2]，
∴f（x）∈[0，3]
∴log₂k=-f（x）∈[-3，0]
∴k∈[

1

8

，1]

點評：本題考查的知識要點：利用向量的數量積和三角函數的誘導關系變換確定a、b的值，利用函數的定義域求函數的值域，屬于基礎題型．