Question

（本小題滿分12分）

   已知橢圓的離心率為，直線經過橢圓的上頂點和右頂點，并且和圓相切.

  （1）求橢圓的方程；

  （2）設直線 與橢圓相交于，兩點，以線段, 為鄰邊作平行四邊行,其中頂點在橢圓上，為坐標原點，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】本試題主要是考查了圓錐曲線方程的求解以及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用。體現了運用代數的方法解決解析幾何的本質思想

（1）由題意的幾何性質和點到直線的距離得到a,b,c的關系式，從而得到橢圓方程的求解。

（2）因為設直線 與橢圓相交于，兩點，以線段, 為鄰邊作平行四邊行，那么聯立方程組，借助于韋達定理和兩點距離公式得到OP的范圍。

解答：（1）由得，所以……………………1分

         所以，有，解得………..5分

    所以，所以橢圓方程為  …………………………….6分

（2），   消去得：

   設

   則， ，

故點…………………………………………………9分

點在橢圓上，有，整理得

         所以，

 而  ，………….11分

因為 ，所以，所以 ，

       所以…………………………………………………………….12分