Question

（本小題滿分14分）

動圓G與圓外切，同時與圓內切，設動圓圓心G的軌跡為。

（1）求曲線的方程；

（2）直線與曲線相交于不同的兩點，以為直徑作圓，若圓C與軸相交于兩點，求面積的最大值；

（3）已知，直線與曲線相交于兩點（均不與重合），且以為直徑的圓過點，求證：直線過定點，并求出該點坐標。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） ；(3)直線過定點，定點坐標為

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓方程的位置關系的綜合運用。

（1）   利用圓圓位置關系，得到圓心距與半徑的關系式，從而得到點的軌跡方程。

（2）   設出直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理得到結論。

（3）   設直線與橢圓聯立方程組，利用過圓心得到垂直關系，結合韋達定理得到結論。

解：（1）設圓G的半徑為r，依題意得：，

所以，所以G點軌跡是以為焦點的橢圓，

所以曲線的方程是………… 4分

（2）依題意，圓心為．

 由 得.     ∴ 圓的半徑為．     

∵ 圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離，

當且僅當即時，等號成立

所以面積的最大值是…………………8分

(3)設，由得

，

，.

以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，

，，

，

，解得

，且滿足.

當時，，直線過定點與已知矛盾；

當時，，直線過定點

綜上可知，直線過定點，定點坐標為………………… 14分