Question

數列{a_n}滿足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）設C_n=log₅（a_n+3），求證{C_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設，數列{b_n}的前n項的和為T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可得，a_n+1+3=（a_n+3）²，利用構造法令C_n=log₅（a_n+3），則可得，從而可證數列{c_n}為等比數列
（II）由（I）可先求數列c_n，代入c_n=log₅（a_n+3）可求a_n
（III）把（II）中的結果代入整理可得，，則代入T_n=b₁+b₂+…+b_n相消可證
解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得a_n+1+3=（a_n+3）²，
∴=2，即c_n+1=2c_n
∴{c_n}是以2為公比的等比數列．
（Ⅱ）又c₁=log₅5=1，
∴c_n=2^n-1，即=2^n-1，
∴a_n+3=
故a_n=-3
（Ⅲ）∵b_n=-=-，∴T_n=-=--．
又0＜=．
∴-≤T_n＜-
點評：本題考查了利用定義證明等比數列：數列{a_n}為等比數列?；利用構造法求數列的通項公式及數列的求和公式，屬于對基本知識的綜合考查．試題難度不大．